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From: 相对论推导练习
相对论推导练习这篇文章里是我设计的几个用于推导相对论的练习。如果做出前三个，你就能推导出正确的相对论公式，并且理解爱因斯坦错在哪里。这些练习已经通过了好几个文科生，理科生，还有一个医生的试验。所有这些人都能在一小时之内独立推导和理解相对论，并且理解了爱因斯坦错在哪里的。你只需要一点初中数学和物理基础。基础练习练习 1 假设现在世界变了，光速只有 1 m/s（米/秒）。也就是说，n 米远的地方发生的事情（比如那里出现一只猫），要过 n 秒钟才能被你看见。现在有一只猫，它以 0.5 m/s 的速度，匀速离你而去。你观测猫的速度，会看到猫速是多少呢？注意：这个 0.5 m/s 是猫自己感觉到的速度，你测出来的速度可能不一样。猫怎么知道自己的速度呢？你可以假设地上事先画好了刻度，猫可以通过看这些刻度知道自己离你的距离，它身上带着一只表，可以知道时间。你怎么测猫的速度呢？你也是看这些地上的刻度，你手上也有一只表。（现在可以开始做练习 1。如果遇到困难，再点击这里看提示 1。我会在一天后提供提示的链接。）练习 2 跟练习 1 一样，光速还是只有 1 m/s，但这次猫不是离你而去，而是以 0.5 m/s 的速度朝你跑来。这次测出来的猫速是多少呢？思考 2：请思考，为什么猫离开你和接近你两种情况，你观察到的速度不一样呢？请设想一个日常生活中的情景，用它来理解这个事情。练习 3 根据上面两个练习的思路，把具体的数字换成变量，推导出通用的公式。猫以 va 的速度离你而去，光速是 c，求你测出来的猫速（v_s）与 v_a 的关系。结果应该是 v_s = … 这样的形式，右边的表达式里包含了 v_a 。变量的定义： v_a ：猫自己感觉到的速度 v_s ：你观察到的猫的速度 c：光速验证公式：把练习 1 和练习 2 的具体数字代人到练习 3 推导出来的公式里，看看是否符合之前算出来的结果？注意公式里的 v_a 表示“猫离开的速度”，如果猫朝你跑过来，可以用负数表示 v_a 。至此，你已经推导出了正确的相对论速度变换公式。如果你学过爱因斯坦的相对论公式，就会发现我们这里推导出来的公式，是和爱因斯坦的公式不一样的。爱因斯坦的公式是错误的。如果你想理解他错在哪里了，可以继续做以下的练习。进阶练习下面是一些进阶的思考和扩展练习，它们都只需要初中物理知识就能解答，但有些可能需要更多的思考，做不出来都可以跳过。练习 4 假设这只猫静止时看到的长度（实际长度）是 1 米，请计算： a) 当它以 0.5 m/s 的速度离开你的时候，你观察到它的长度是多少？ b) 当它以 0.5 m/s 的速度接近你的时候，你观察到它的长度是多少？使用 (a) 和 (b) 得到的思路，推导出观察到的物体长度 l_s 与物体的实际长度 l_a 之间的换算关系。练习 5 请自己想办法推导（你看到的）：猫身上那只表的时间（time）换算公式猫的质量（mass）换算公式猫的动能（kinetic energy）换算公式猫的动量（momentum）换算公式猫的颜色（光的频率）换算公式这里面有些有点难，做不出来可以跳过。练习 6 参考爱因斯坦的狭义相对论公式，是和我们推导出来的公式不一样的。对于练习 1 和练习 2，由他的公式得到的结果会有什么不同？你认为爱因斯坦的公式有什么问题吗？谁的公式是正确的？练习 7 理解相对论的「twin paradox」，它为什么会发生？如果使用我们这里推导出来的相对论公式，twin paradox 还会发生吗？练习 8（难）这个练习稍有点难。参考爱因斯坦的 E = mc² 论文（论文链接），理解他推导「质能方程」 E = mc² 的过程。你能看出他的推导过程有什么错误吗？正确的「质能方程」应该是什么样子？练习就是这些，稍后我会提供其中一些的提示和解答。

相对论推导练习

这篇文章里是我设计的几个用于推导相对论的练习。如果做出前三个，你就能推导出正确的相对论公式，并且理解爱因斯坦错在哪里。

这些练习已经通过了好几个文科生，理科生，还有一个医生的试验。所有这些人都能在一小时之内独立推导和理解相对论，并且理解了爱因斯坦错在哪里的。你只需要一点初中数学和物理基础。

基础练习

练习 1

假设现在世界变了，光速只有 1 m/s（米/秒）。也就是说，n 米远的地方发生的事情（比如那里出现一只猫），要过 n 秒钟才能被你看见。现在有一只猫，它以 0.5 m/s 的速度，匀速离你而去。你观测猫的速度，会看到猫速是多少呢？

注意：这个 0.5 m/s 是猫自己感觉到的速度，你测出来的速度可能不一样。猫怎么知道自己的速度呢？你可以假设地上事先画好了刻度，猫可以通过看这些刻度知道自己离你的距离，它身上带着一只表，可以知道时间。你怎么测猫的速度呢？你也是看这些地上的刻度，你手上也有一只表。

（现在可以开始做练习 1。如果遇到困难，再点击这里看提示 1。我会在一天后提供提示的链接。）

练习 2

跟练习 1 一样，光速还是只有 1 m/s，但这次猫不是离你而去，而是以 0.5 m/s 的速度朝你跑来。这次测出来的猫速是多少呢？

思考 2：请思考，为什么猫离开你和接近你两种情况，你观察到的速度不一样呢？请设想一个日常生活中的情景，用它来理解这个事情。

练习 3

根据上面两个练习的思路，把具体的数字换成变量，推导出通用的公式。猫以 va 的速度离你而去，光速是 c，求你测出来的猫速（v_s）与 v_a 的关系。结果应该是 v_s = … 这样的形式，右边的表达式里包含了 v_a 。

变量的定义：

v_a ：猫自己感觉到的速度
v_s ：你观察到的猫的速度
c：光速

验证公式：把练习 1 和练习 2 的具体数字代人到练习 3 推导出来的公式里，看看是否符合之前算出来的结果？注意公式里的 v_a 表示“猫离开的速度”，如果猫朝你跑过来，可以用负数表示 v_a 。

至此，你已经推导出了正确的相对论速度变换公式。如果你学过爱因斯坦的相对论公式，就会发现我们这里推导出来的公式，是和爱因斯坦的公式不一样的。爱因斯坦的公式是错误的。如果你想理解他错在哪里了，可以继续做以下的练习。

进阶练习

下面是一些进阶的思考和扩展练习，它们都只需要初中物理知识就能解答，但有些可能需要更多的思考，做不出来都可以跳过。

练习 4

假设这只猫静止时看到的长度（实际长度）是 1 米，请计算：

a) 当它以 0.5 m/s 的速度离开你的时候，你观察到它的长度是多少？

b) 当它以 0.5 m/s 的速度接近你的时候，你观察到它的长度是多少？

使用 (a) 和 (b) 得到的思路，推导出观察到的物体长度 l_s 与物体的实际长度 l_a 之间的换算关系。

练习 5

请自己想办法推导（你看到的）：

猫身上那只表的时间（time）换算公式
猫的质量（mass）换算公式
猫的动能（kinetic energy）换算公式
猫的动量（momentum）换算公式
猫的颜色（光的频率）换算公式

这里面有些有点难，做不出来可以跳过。

练习 6

参考爱因斯坦的狭义相对论公式，是和我们推导出来的公式不一样的。对于练习 1 和练习 2，由他的公式得到的结果会有什么不同？你认为爱因斯坦的公式有什么问题吗？谁的公式是正确的？

练习 7

理解相对论的「twin paradox」，它为什么会发生？如果使用我们这里推导出来的相对论公式，twin paradox 还会发生吗？

练习 8（难）

这个练习稍有点难。参考爱因斯坦的 E = mc² 论文（论文链接），理解他推导「质能方程」 E = mc² 的过程。你能看出他的推导过程有什么错误吗？正确的「质能方程」应该是什么样子？

练习就是这些，稍后我会提供其中一些的提示和解答。